Kennt jemand von euch ein gutes Skript zu nichtlineare Optimierung? Inhalte in etwa Optimalitätsbedingungen; Abstiegsverfahren; Globalisierung; CG-Verfahren; Quasi-Newton Methoden; Projiziertes Gradienten- bzw. Newton-Verfahren bei Schrankenrestriktionen; Konvergenzanalyse; Einführung in Probleme mit Restriktionen.
Gott, wird das mühsam.
Mir fehlt bei einer numerischen Programmieraufgabe ein entscheidener Schritt für das Verständnis:
Wir sollen ein implizites Runge-Kutta-Verfahren in MatLab implementieren und damit dann ein ggb N-dimensionales Anfangswertproblem lösen.
[math]\Phi(x_i,\eta_i,\eta_{i+1},h) = .5*(k_1+k_2)[/math]
[math]k_1 = f(x_i +\frac{3-\sqrt(3)}{6}*h, \eta_i + \frac{1}{4}*h*k_1 + \frac{3-2*sqrt(3)}{12}*h*k_2)[/math]
[math]k_2 = f(x_i +\frac{3-\sqrt(3)}{6}*h, \eta_i + \frac{1}{4}*h*k_2 + \frac{3-2*sqrt(3)}{12}*h*k_1)[/math]
Als Tipp haben wir bekommen, dass wir eine Nullstellensuche brauchen werden, zB das Newton-Verfahren.
Für mich ist das eine unendliche Iteration, wo soll ich da die Nullstellensuche ansetzen bzw anwenden?
Kann mir jemand helfen?
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Bringe k_1 und k_2 auf die andere Seite und du hast ein Nullstellenproblem in 2 Dimenisonen. Auf das könnte man dann das Newton-Verfahren anwenden, wenn du die Ableitung kennst.
Du meinst [math]\Phi(x_i,\eta_i,\eta_{i+1},h) - .5*(k_1+k_2) = 0[/math] ?
Gegeben haben wir
[math] \dot y = A * y + d(y) [/math]
wobei A eine NxN-Matrix ist und y bzw d(y) ein Nx1-Vektor ist
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Nein, ich meinte eigentlich die beiden Zeilen darunter. Ich bin nicht mehr ganz im Stoff, was die Notation anbelangt. Es sah aber für mich so aus, als wenn die k_i für das Verfahren bestimmt werden müssen und sie durch die beiden unteren Gleichungen definiert werden. Kann auch sein, das ich komplett daneben liege
hmmm, aber wie soll ich das nach k_1 oder k_2 auflösen?
[math]0.5*( f(x_i +\frac{3-\sqrt(3)}{6}*h, \eta_i + \frac{1}{4}*h*k_1 + \frac{3-2*sqrt(3)}{12}*h*k_2) + f(x_i +\frac{3-\sqrt(3)}{6}*h, \eta_i + \frac{1}{4}*h*k_2 + \frac{3-2*sqrt(3)}{12}*h*k_1)) = A * y + d(y)[/math]
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Das kannst du nicht auflösen (Sonst wäre es ja auch kein implizites Verfahren). Du erhältst ein Nullstellenproblem g(k1,k2)= 0, welches du mit einem iterativen Verfahren, wie dem Newtonverfahren, löst.
[math] g(k1,k2) - A * y + d(y) = 0[/math]
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Hui, mit Numerik komme ich gar nicht klar.
Es geht um das Euler-Verfahren mit [math]y'(t) = y(t), y(0) = 1[/math] und [math]I = [0,1][/math] . Das Intervall wird aufgeteilt in [math]I_h, h = \frac{1}{n}[/math] und ich soll die Näherung [math]y_h[/math] explizit angeben und zeigen, dass [math]y_h(1)[/math] gegen [math]y(1) = e[/math] konvergiert, ohne allgemeine Sätze aus der Vorlesung zu benutzen.
Ich hätte jetzt gedacht, dass
[math]y_h(n \cdot h} = y(0) + h \sum_{i=0}^n e^{ih} = 1 + \frac{1}{n} \cdot e^{\frac{1}{n}} \sum_{i=0}^n e^i[/math] ist, einfach durch das Verfahren. Aber ich habe keine Idee, wie ich die Konvergenz zeigen kann und zweifel auch noch an meinem Ergebnis.
Hat jemand den Durchblick?
Gib mal an, wie du auf den Ausdruck für [math]y_h(nh)[/math] gekommen bist.
Diese Aufgabe ist wirklich seeeehr einfach. Ich glaube, ich würde dir keinen Gefallen tun, wenn ich einfach die Lösung vorkaue.
[math]y_h(0) = y(0) = 1[/math]
[math]y_h(h) = 1 + h \cdot e^0[/math]
[math]y_h(2h) = y_h(h) + h \cdot e^1[/math]
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[math]y_h(nh) = y_h(1) = 1 + h \sum_{i=0}^n e^{ih}[/math]
Mir kommt die ja auch einfach vor, aber...
Der Ansatz ist prinzipiell richtig.
Du verwendest das Eulerverfahren nicht richtig. Es muss heißen
[math]y_h((m+1)h)=y_h(mh) + hf(y_h(mh))[/math] , wobei [math]f(y)[/math] die rechte Seite der Differentialgleichung ist. In unserem Fall also [math]y_h((m+1)h)=y_h(mh) + hy_h(mh) [/math] .
Was du oben benutzt hast, ist
[math]y_h((m+1)h)=y_h(mh) + hy(mh)=y_h(mh) + h e^{mh}[/math] .
Du kennst aber normalerweise [math]y(mh)[/math] (also die analytische Lösung) gar nicht und kannst sie folglich auch nicht in ein numerisches Verfahren einsetzen.
...also, darf man eigentlich annehmen, dass h von der Form h=1/N ist, mit N natürlich?
Geändert von Gullix (02. Juni 2013 um 12:32 Uhr)
Mit Naturgesetzen kann man nicht verhandeln. --Harald Lesch
Ein Atomkrieg würde die Menschheit auslöschen. Hätte aber auch Nachteile.
Ja. So steht es in Penguins Aufgabe.
Hat wer Lust mir Funktionsscharen zu erklären?
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