...also, gabs nicht so n Satz "wenn überall stetig diffbar, dann L = max(|f'(x)'|)" oder so?
Inwiefern "die kleinste Lipschitzkonstante"? Intervall geschickt rund ums Max der Sinusfunktion wählen, dann kriegste ne kleinere Lipschitzkonstante raus, da sollte jeder Wert > 0 möglich sein.
Mit Naturgesetzen kann man nicht verhandeln. --Harald Lesch
Ein Atomkrieg würde die Menschheit auslöschen. Hätte aber auch Nachteile.
Physiker?Zitat von Peregrin_Tooc
Gulli hat im Prinzip schon Recht. Man kann den Mittelwertsatz der Differentialrechnung verwenden, um eine Beziehung zur Ableitung von sin(y) zu bekommen. Aus dem Mittelwertsatz folgt dann auch die Aussage, die er oben angedeutet hat.
Nö, kein Physiker, aber da er meint, dass für das, was er da hat, L=1 die beste Abschätzung sein sollte, könnte man das über Taylor prüfen - und von Ana hab ich keine Ahnung, daher greif ich da immer auf so Basics zurück
Meine Stories:
Civ VI aus der Sicht von Civ IV BTS, englischer Weltraumsieg auf König
Der Erste Kaiser wieder aufgenommen
...also, hier Physiker
Mit Naturgesetzen kann man nicht verhandeln. --Harald Lesch
Ein Atomkrieg würde die Menschheit auslöschen. Hätte aber auch Nachteile.
Analysis is ja auch eher Baby-Mathematik.
hier gehts zur mMn besten Civ4 BtS Mod: Pies Antiken Europa
Leute, leute, ich verzweifel mit numerischer Analysis, Interpolation und so'n Rotz.
Sei [math]f : [a; b] \to \R; f \in C^(N+1)[/math] . Zur Approximation wird das Intervall in M gleichgroße
Teilintervalle aufgeteilt. In jedem Teilintervall wird eine Polynominterpolation an N äquidistanten
Stützstellen durchgeführt, N sei fest. Sei [math]p_M[/math] die so entstehende Approximation.
Zeigen Sie: Für [math]M \to \infty[/math] konvergiert [math]p_M[/math] gegen f punktweise, und es gibt ein C > 0,
unabhängig von f und N, mit
[math] \|\|f - p_m \|\|_\infty \leq C * \frac{\|\|f^(N+1)\|\|_\infty}{M^N} \forall M \in \mathbb{N}[/math]
Also gut: ich weiß, dass [math]\|\|f - p \|\|_\infty \leq \|\|w(x)\|\|_\infty * \frac{\|\|f^(N+1)\|\|_\infty}{(N+1)!}[/math] gilt mit [math]w(x) := \prod_{i=1}^N (x-x_i)[/math] .
Ähm, wie kann ich denn dann die Fehler der Teilintervalle einbeziehen? Es sieht ja eigentlich nicht so schwierig aus, aber ich habe keinen Plan von nix.
Tja, ich weiß immer nicht, ob ich das vorkauen soll, oder ob es besser ist, Hinweise zu geben.
Du hast die Fehlerformel für die Teilintervalle unten stehen. Der Fehler für das Gesamtintervall ist lediglich das Maximum dieser Einzelfehler. Der Schlüssel zu der Aufgabe ist, es [math]w(x)[/math] abzuschätzen. Man erhält einen Ausdruck, der noch von N abhängt, aber gleichmäßig beschränkt in N ist.
Hinweise sind schon prima, aber ich fürchte bei dieser Aufgabe werde ich wirklich auf nichts selbständig kommen.
w(x) ist dann doch ein Polynom n-ten Grades. Wie kann man sowas abschätzen?
Wir betrachten f eingeschränkt auf ein Teilintervall. Es sei p das dortige Interpolationspolynom. Wir wissen ferner, dass [math] (\|\|f - p \|\|_\infty) \leq \|\|w(x)\|\|_\infty * \frac{\|\|f^(N+1)\|\|_\infty}{(N+1)!}[/math] gilt mit [math]w(x) := \prod_{i=1}^N (x-x_i)[/math] . Dann liegen [math]x_i[/math] und [math]x[/math] aus der obigen Formel in einem Intervall der Länge [math]\frac{b-a}{M}[/math] . Folglich
[math] \|\|w(x)\|\|_\infty \leq (\frac{b-a}{M})^N [/math]
Für den Gesamtfehler erhalten wir:
[math] (\|\|f - p_M \|\|_\infty) = \max_{0\leq i \leq M-1} (\|\| [f ]_{a+i\frac{b-a}{M}}^{a+(i+1)\frac{b-a}{M}}- [p_M]_{a+i\frac{b-a}{M}}^{a+(i+1)\frac{b-a}{M}} \|\|_\infty)
\leq \max_{0\leq i \leq M-1} (\frac{b-a}{M})^N \frac{\|\| [f^(N+1)]_{a+i\frac{b-a}{M}}^{a+(i+1)\frac{b-a}{M}}\|\|_\infty}{(N+1)!}
= \frac{(b-a)^N}{(N+1)!} \frac{\|\|f^(N+1)\|\|_\infty}{M^N}[/math]
Man sieht sofort, dass [math]\frac{(b-a)^N}{(N+1)!}[/math] eine Nullfolge und somit beschränkt ist. ZB.:
[math]\frac{(b-a)^N}{(N+1)!} \leq (b-a)^{-1} \sum_{N=0}^\infty \frac{(b-a)^N}{N!}=\frac{e^{b-a}}{b-a}[/math] .
Geändert von Hagen0 (26. April 2013 um 13:05 Uhr)
Wow, hagen, ich danke dir vielmals!
Was ist noch nicht ganz verstehe ist:
Wieso kann man denn das Polynom durch die Länge der Intervalle abschätzen?
Weil |x-x_i|, x_i - Stützstellen sehr grob mit |b-a| abgeschätzt werden kann.
Ok, das leuchtet mir ein.
Nochmal vielen Dank!
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